Lösungsweg Schritt für Schritt
▶ 2:40Teil a: Gewichtungen ableiten
Wo fängst du an? Bei dem Kriterium, dessen Gewichtung als Zahl im Text steht. Alle anderen Angaben beziehen sich auf ein anderes Kriterium – nur die Umweltbilanz hat eine feste Zahl. Von ihr aus hangelst du dich durch die Kette.
Tipp: Mit dem Kriterium beginnen, dessen Gewichtung als Zahl im Text steht. Die übrigen Angaben bauen der Reihe nach darauf auf.
| Umweltbilanz | laut Aufgabentext | 4 |
| Ausstattung | um 1 höher als Umweltbilanz: 4 + 1 | 5 |
| Lieferzeit | um 2 höher als Ausstattung: 5 + 2 | 7 |
| Anschaffungspreis | doppelt so hoch wie Ausstattung: 2 × 5 | 10 |
| Zuladung | um 3 niedriger als Anschaffungspreis: 10 − 3 | 7 |
Achtung: An jedem Glied der Kette lauert dieselbe Falle – die Angabe umgedreht:
- Ausstattung 3 statt 5: „um 1 höher“ heißt plus 1.
- Lieferzeit 3 statt 7: „um 2 höher“ heißt plus 2.
- Anschaffungspreis 2,5 statt 10: „doppelt so hoch“ heißt mal 2, nicht geteilt durch 2.
- Zuladung 13 statt 7: „um 3 niedriger“ heißt minus 3.
Damit steht die Gewichtungsspalte in der Reihenfolge des Formulars: Lieferzeit 7, Zuladung 7, Umweltbilanz 4, Ausstattung 5 und Anschaffungspreis 10.
▶ 4:23Die fehlenden Punkte für Alternative 3
Bevor du rechnest, fehlt noch eine Spalte: die Punkte für den E-Transporter. Du holst sie aus dem Aufgabentext: Lieferzeit 10, Zuladung 10, Umweltbilanz 6, Ausstattung 3 und Anschaffungspreis 4.
Zweimal die volle Punktzahl – der E-Transporter sieht stark aus. Behalt aber die 3 bei der Ausstattung im Hinterkopf.
▶ 4:51Teil b: Warum gewichten – Alternative 1
Warum zählst du nicht einfach die Punkte zusammen? Weil nicht jedes Kriterium gleich wichtig ist. Ein Punkt beim Anschaffungspreis mit Gewichtung 10 zählt doppelt so viel wie ein Punkt bei der Ausstattung mit Gewichtung 5. Erst die Gewichtung macht aus den Punkten einen fairen Vergleich.
Tipp: Gewichtete Punkte = Gewichtung × Punkte.
Für Alternative 1, den Pritschenwagen:
| Lieferzeit | 7 × 5 | 35 |
| Zuladung | 7 × 4 | 28 |
| Umweltbilanz | 4 × 2 | 8 |
| Ausstattung | 5 × 5 | 25 |
| Anschaffungspreis | 10 × 7 | 70 |
Tipp: Eine hohe Punktzahl steht immer für eine günstige Ausprägung. 7 Punkte beim Anschaffungspreis heißen also: Der Pritschenwagen ist günstig, nicht teuer.
▶ 6:11Gewichtete Punkte für Alternative 2 und 3
Genauso rechnest du für den E-Lieferwagen und den E-Transporter:
| Kriterium | (2) E-Lieferwagen | (3) E-Transporter |
|---|
| Lieferzeit | 7 × 6 = 42 | 7 × 10 = 70 |
| Zuladung | 7 × 1 = 7 | 7 × 10 = 70 |
| Umweltbilanz | 4 × 7 = 28 | 4 × 6 = 24 |
| Ausstattung | 5 × 7 = 35 | 5 × 3 = 15 |
| Anschaffungspreis | 10 × 1 = 10 | 10 × 4 = 40 |
▶ 6:44Die Nutzwerte
Der Nutzwert ist die Summe der gewichteten Punkte einer Alternative.
- (1) Pritschenwagen
- 35 + 28 + 8 + 25 + 70 = 166
- (2) E-Lieferwagen
- 42 + 7 + 28 + 35 + 10 = 122
- (3) E-Transporter
- 70 + 70 + 24 + 15 + 40 = 219
Achtung: Wer 23, 22 und 33 erhält, hat die ungewichteten Punkte addiert. Der Nutzwert ist die Summe der gewichteten Punkte.
219 – mit großem Abstand der höchste Nutzwert. Klarer Sieger, oder?
▶ 7:58Teil c: Das K.-o.-Kriterium
Teil c verlangt, zuerst das K.-o.-Kriterium zu prüfen: Bei der Ausstattung sind mindestens 4 Punkte nötig, darunter scheidet eine Alternative aus. In der Zeile Ausstattung hat der Pritschenwagen 5 Punkte und der E-Lieferwagen 7 – beide reichen. Der E-Transporter hat nur 3.
3 ist weniger als 4: Der E-Transporter scheidet aus – mit dem höchsten Nutzwert der ganzen Tabelle. Die 219 zählen nicht, weil ein K.-o.-Kriterium eine Mindestanforderung ist. Es wird vor der Rangfolge geprüft, und wer es nicht erfüllt, ist raus, egal wie gut er sonst abschneidet. Ein Fahrzeug, dessen Ausstattung die Geschäftsleitung nicht akzeptiert, kauft sie nicht, auch wenn es auf dem Papier gewinnt.
- Ausscheidende Alternative
- Ausstattung 3 Punkte, also unter 4: Nummer 3
- Beste verbleibende Alternative
- 166 gegen 122: Nummer 1
Achtung: Wer als beste Alternative 3 einträgt, hat das K.-o.-Kriterium übersehen. Der E-Transporter hat zwar die höchste Summe, erfüllt aber die Mindestpunktzahl nicht. Genau diese Falle ist der Kern der Aufgabe.
▶ 9:28Teil d: Die Idee der Verschiebung
Um wie viel müsste die Gewichtung der Umweltbilanz steigen – auf Kosten des Anschaffungspreises –, damit der E-Lieferwagen mit dem Pritschenwagen gleichzieht? Zuerst der Abstand: 166 − 122 = 44. So weit liegt der E-Lieferwagen zurück.
Die eigentliche Frage ist: Was passiert, wenn ein einziger Gewichtungspunkt vom Anschaffungspreis zur Umweltbilanz wandert? Probier es aus – die Umweltbilanz bekommt 5 statt 4 Gewichtungspunkte, der Anschaffungspreis 9 statt 10:
- (1) Pritschenwagen
- gewinnt bei der Umweltbilanz 2, verliert beim Anschaffungspreis 7: Nutzwert 166 → 161, also − 5
- (2) E-Lieferwagen
- gewinnt bei der Umweltbilanz 7, verliert beim Anschaffungspreis nur 1: Nutzwert 122 → 128, also + 6
Fünf weniger auf der einen Seite, sechs mehr auf der anderen: Der Abstand schrumpft von 44 auf 33, also um 11. Und das passiert mit jedem einzelnen Punkt, der wandert.
▶ 11:06Teil d: Rechnung und Probe
Als Formel aus dem Lösungsweg, immer E-Lieferwagen minus Pritschenwagen: Bei der Umweltbilanz sind es 7 − 2 = 5 Punkte Vorsprung, beim Anschaffungspreis 1 − 7 = −6. Der Anschaffungspreis gibt Gewicht ab, also wird er abgezogen: 5 − (−6) = 11.
- Verschiebung der Gewichtung
- (166 − 122) ÷ ((7 − 2) − (1 − 7)) = 44 ÷ 11 = 4
Tipp: Abstand der Nutzwerte ÷ Veränderung je Gewichtungspunkt = nötige Verschiebung. Die Veränderung je Punkt ist der Punktvorsprung beim gestärkten Kriterium minus den Punktvorsprung beim geschwächten Kriterium.
Zur Probe verschiebst du die Gewichtung um 4: Die Umweltbilanz steigt von 4 auf 8, der Anschaffungspreis fällt von 10 auf 6. Dann zählst du beide Nutzwerte neu zusammen.
- (1) Pritschenwagen
- 2 × 8 = 16 und 7 × 6 = 42
35 + 28 + 16 + 25 + 42 = 146 - (2) E-Lieferwagen
- 7 × 8 = 56 und 1 × 6 = 6
42 + 7 + 56 + 35 + 6 = 146
146 − 146 = 0: Gleichstand. Die Verschiebung um 4 stimmt.
▶ 12:47Das Wichtigste in einem Satz
Gewichtungen ab der einzigen festen Zahl ableiten, gewichtete Punkte und Nutzwerte berechnen, das K.-o.-Kriterium vor der Rangfolge prüfen – und für die Verschiebung den Abstand durch die Veränderung je Gewichtungspunkt teilen.
